jueves, 21 de julio de 2011

Vectores

Vector (física)

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Un vector físico es una magnitud física caracterizable mediante un punto de aplicación u origen, una magnitud o módulo, una dirección y un sentido; o alternativamente por un número de componentes independientes tales que los componentes medidas por diferentes observadores sean relacionables de manera sistemática.

Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro características mencionadas anteriormente:
  • Punto de aplicación u origen.
  • Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector.
  • Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.
  • Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.
Matemáticamente hablando, un vector no puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales, como sí es posible hacerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Contenido


Ejemplos

La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades. Si éstas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:
  • De 10 km, si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido.
  • De 70 km, si salen en la misma dirección y sentidos contrarios.
  • De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.
Como se puede ver, la distancia entre los dos coches, depende también de otras cualidades, además de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que además de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su dirección y sentido.

Representación gráfica


Representación gráfica de dos vectores deslizantes
Se representa como un segmento con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación

En física las variables escalares se representan con una letra: s, a, u, etc., y los vectores con una flecha encima: , representándose también frecuentemente mediante letras en negrita: . Además de estas convenciones los vectores unitarios cuyo módulo es igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo

Componentes de un vector

Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
.
Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, se llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.

Vectores como combinación lineal

Cualquier vector que se considere es siempre una combinación lineal de un número n de vectores unitarios perpendiculares entre sí, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.
Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por
si bien es también usual representarlos como  
   siendo el vector unitario según el eje de la x, el vector unitario en el eje de las y, y en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicenara determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
  • Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular.
  • Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular.
  • Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos.
  • Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta.
  • Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-.
  • Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno.
  • Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)
  • Vectores colineales: son aquellos que actúan en una misma línea de acción

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Suma de vectores

 

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en los puntos, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores. Este método es aplicado dentro de la existencia de 2 fuerzas las cuales tienen ángulo de separación entre las 2 de tal forma que al realizar la proyección o traslación de cada una de ellas formemos un cuadrilátero y que para esto es importante considerar que para la solución se deben emplear dos condiciones. El método matemático consiste en emplear un cálculo de la fuerza resultante la ley de los cósenos, la cual establece la apertura del ángulo entre la combinación de un triángulo de 90º y un triángulo mayor o menor de 90º.

Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos. si un vector es mayor o menor que otro se sumara para la satisfacción de los ángulos. El método del triángulo podrá, realizarse ,cuando el sistema esta constituido por dos componentes vectoriales. 1.- trazar los ejes de coordenadas 2.- se establece la escala gráfica o numérica, se representan las longitudes de los componentes incluyendo la resultante final. se traza la dirección del componente (A) con la inclinación determinada partiendo del (o).

Método analítico

Producto de un vector por un escalar (número racional Q)

Producto por un escalar
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).
Partiendo de un escalar y de un vector , el producto de por es , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:
si lo multiplicamos por el escalar n:
.


Suma de Vectores:

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (-V).
Los componentes del vector resta se obtienen restando los componentes de los vectores.

Producto escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Contenido

 Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación \langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow \mathbb{K} donde V es un espacio vectorial y \mathbb{K} es el cuerpo sobre el que está definido V. \langle \cdot,\cdot \rangle debe satisfacer las siguientes condiciones:
  1. Linealidad por la izquierda:  \langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle , y linealidad conjugada por la derecha:  \langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle
  2. Hermiticidad:  \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle} ,
  3. Definida positiva:  \langle x,x \rangle \geq 0 \,, y  \langle x,x \rangle = 0 \, si y sólo si x = 0,
donde x, y, z \in V son vectores de V, a, b \in \mathbb{K} representan escalares del cuerpo \mathbb{K} y \overline{c} es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.
Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
\|x\|:= \sqrt{\langle x,x \rangle}.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real


AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta =
A \,B \,\cos \theta
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es  \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

\mathbf A \cdot \mathbf B = |B| \left(\text{proy}A_B \right)
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

\cos \theta = {\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \over |A| \,|B|} \,

[Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0 \qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{A} \bot \mathbf{B}
ya que el valor del coseno de 90º es cero.

 Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= A \, B \, \cos \theta  \leftrightarrow  
|\cos \theta| = 1  \leftrightarrow  
A||B \Rightarrow 
|\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| = |A|\,|B|

 

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

m (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})= (m\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot(m\mathbf{B})

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en  \mathbb{R}^3 formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,

\mathbf B = B_x\mathbf i+ B_y\mathbf j+B_z\mathbf k \,
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

 \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= 
 \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} B_x\\ B_y\\ B_z\\\end{bmatrix}
 = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\,

[ Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \quad\rightarrow\quad
|A| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}
Efectuado el producto escalar, tenemos:

|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = (A_1,A_2,...,A_n)^2 = 
A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2 = \sum A_i^2
de modo que

|A| = \sqrt {\sum A_i^2} = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2}
Por componentes, tomando la base canónica en  \mathbb{R}^3 formada por los vectores unitarios {i, j, k}

\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,

 |A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}= 
 \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ A_z\\\end{bmatrix}
 = A_x^2+A_y^2+A_z^2\,
de modo que

|A| = \sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \,

Producto Cruz

 

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Contenido


Definición


Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores \mathbf a y \mathbf b en el espacio vectorial \mathbb{R}^3. El producto vectorial entre \mathbf a\, y \mathbf b\, da como resultado un nuevo vector, \mathbf c\,. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
  • El módulo de \mathbf c\, está dado por
 c = a \, b \, \sin\theta
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
{\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\sin}{\theta}
\ \hat\mathbf n}
donde \hat\mathbf n es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

] Producto vectorial de dos vectores

Producto vectorial.
Sean  \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k y  \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k dos vectores concurrentes de  \mathbb{R}^3 , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto  \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , y se escribe  \mathbf u \times \mathbf v , como el vector:

\mathbf u \times \mathbf v = 
  \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i
  - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j
  + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k
En el que
\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c , es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

\mathbf u \times \mathbf v =
\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
u_y & u_z \\
v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf i -
\begin{vmatrix}
u_x & u_z \\
v_x & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf j +
\begin{vmatrix}
u_x & u_y \\
v_x & v_y \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf k
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de  \mathbf u \times \mathbf v es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]
 \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 
\begin{bmatrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y\\ u_zv_x-u_xv_z\\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}

 Ejemplo

El producto vectorial de los vectores \mathbf a = (2,0,1) y \mathbf b = (1,-1,3) se calcula del siguiente modo:
\mathbf a \times \mathbf b =
\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix}
Expandiendo el determinante:
\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} +
\mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} =
\mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
Puede verificarse fácilmente que \mathbf a \times \mathbf b es ortogonal a los vectores \mathbf a y \mathbf b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores  \mathbf a ,  \mathbf b y  \mathbf c :
  1.  \mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a) , (anticonmutatividad)
  2. Si \mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0 con \mathbf a \neq \mathbf 0 y  \mathbf b \neq \mathbf 0 , \Rightarrow \mathbf a \| \mathbf b ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
  3.  ( \mathbf a + \mathbf b ) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c .
  4. \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) =  \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b), conocida como regla de la expulsión.
  5. \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0, conocida como identidad de Jacobi.
  6. |\mathbf a \times \mathbf b| = a \, b \, \sin \theta , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores \mathbf a y \mathbf b; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
  7. El vector unitario  \hat\mathbf n = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|} es normal al plano que contiene a los vectores \mathbf a y \mathbf b.














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